微分積分学準備例

$f (x) = 8 x^{5} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 8 x^{5} - 7$ を方程式で書きます。

$y = 8 x^{5} - 7$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 8 y^{5} - 7$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $8 y^{5} - 7 = x$ として書き換えます。

$8 y^{5} - 7 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$8 y^{5} = x + 7$

ステップ 3.3

$8 y^{5} = x + 7$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$8 y^{5} = x + 7$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{5}$ を $1$ で割ります。

$y^{5} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$

ステップ 3.5

$\sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$ を $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$

ステップ 3.5.3

$\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ に $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

ステップ 3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ に $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

ステップ 3.5.4.2

$\sqrt[5]{8}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

ステップ 3.5.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

ステップ 3.5.4.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

ステップ 3.5.4.5

${\sqrt[5]{8}}^{5}$ を $8$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{8}$ を $8^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

ステップ 3.5.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

ステップ 3.5.4.5.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

ステップ 3.5.4.5.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

ステップ 3.5.4.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

ステップ 3.5.4.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

ステップ 3.5.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.5.1

${\sqrt[5]{8}}^{4}$ を $\sqrt[5]{8^{4}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

ステップ 3.5.5.2

$8$ を $4$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4096}}{8}$

ステップ 3.5.5.3

$4096$ を $4^{5} \cdot 4$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.5.3.1

$1024$ を $4096$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

ステップ 3.5.5.3.2

$1024$ を $4^{5}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

ステップ 3.5.5.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

ステップ 3.5.5.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{8}$

ステップ 3.5.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.5.6.1

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.6.1.1

$4$ を $4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4})}{8}$

ステップ 3.5.6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.6.1.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

ステップ 3.5.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

ステップ 3.5.6.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$

ステップ 3.5.6.2

$\frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ が $f (x) = 8 x^{5} - 7$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (8 x^{5} - 7)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 ((8 x^{5} - 7) + 7)}}{2}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5} + 0)}}{2}$

ステップ 5.2.3.2

$8 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 \cdot (8 x^{5})}}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$4$ に $8$ をかけます。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

ステップ 5.2.3.4

$32 x^{5}$ を ${(2 x)}^{5}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

ステップ 5.2.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})}^{5} - 7$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

${\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}$ を $4 (x + 7)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{4 (x + 7)}$ を ${(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.1.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.3

$4$ に $7$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 28}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.4

$4$ を $4 x + 28$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.4.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x) + 28}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$4$ を $28$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.2.4.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot 7$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{32}) - 7$

ステップ 5.3.3.4

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$8$ を $32$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 (4)}) - 7$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 \cdot 4}) - 7$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

ステップ 5.3.3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

ステップ 5.3.3.5.2

$x + 7$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 7 - 7$

ステップ 5.3.4

$x + 7 - 7$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$7$ から $7$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ は $f (x) = 8 x^{5} - 7$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

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