微分積分学準備例

$f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ を方程式で書きます。

$y = 8 \sqrt[3]{x} - 4$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 8 \sqrt[3]{y} - 4$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $8 \sqrt[3]{y} - 4 = x$ として書き換えます。

$8 \sqrt[3]{y} - 4 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$8 \sqrt[3]{y} = x + 4$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(8 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y}$ を $y^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(8 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(8 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

積の法則を $8 y^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$8^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

$8$ を $3$ 乗します。

$512 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.3

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$512 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$512 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$512 y^{1} = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.4

簡約します。

$512 y = {(x + 4)}^{3}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(x + 4)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$512 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

$4$ に $3$ をかけます。

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + 4^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.3

$16$ に $3$ をかけます。

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 4^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.4

$4$ を $3$ 乗します。

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

ステップ 3.5

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ の各項を $512$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ の各項を $512$ で割ります。

$\frac{512 y}{512} = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{512 y}{512} = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

$12$ と $512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1.1

$4$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1.2.1

$4$ を $512$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{4 (128)} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{4 \cdot 128} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.2

$48$ と $512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.2.1

$16$ を $48 x$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{512} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.2.2.1

$16$ を $512$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{16 (32)} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{16 \cdot 32} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64}{512}$

ステップ 3.5.3.1.3

$64$ と $512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.3.1

$64$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 (1)}{512}$

ステップ 3.5.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.3.2.1

$64$ を $512$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 8}$

ステップ 3.5.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 8}$

ステップ 3.5.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$ が $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$4$ を $8 \sqrt[3]{x} - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1.1

$4$ を $8 \sqrt[3]{x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x}) - 4)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.1.1.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1))}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.1.1.3

$4$ を $4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

積の法則を $4 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ に当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{4^{3} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.2

$64$ と $512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$64$ を $64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 ({(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3})}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.2.1

$64$ を $512$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{64 \cdot 8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{64 \cdot 8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1

$4$ を $8 \sqrt[3]{x} - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1.1

$4$ を $8 \sqrt[3]{x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x}) - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.1.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1))}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.1.3

$4$ を $4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.2

積の法則を $4 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ に当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (4^{2} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (16 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.3.4

$3$ に $16$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{48 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.4

$48$ と $128$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.4.1

$16$ を $48 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.4.2.1

$16$ を $128$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{16 (8)} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{16 \cdot 8} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.5

$8 \sqrt[3]{x} - 4$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.5.1

$4$ を $3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{32} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.5.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{4 (8)} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (2 \sqrt[3]{x} - 1)}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2} + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ を $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 ((2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} - 1) - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.2.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.3.1.1

$2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.3.1.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.1.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.1.3

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.2

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.3.2

$- 2 \sqrt[3]{x}$ から $2 \sqrt[3]{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.5.1

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.5.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.5.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.6

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.7

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.3.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 0 + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.4.1.2

${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

ステップ 5.2.3.4.2

$- 12 \sqrt[3]{x}$ と $6 \sqrt[3]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.4

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

積の法則を $2 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.3.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.4.5.3.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.4

簡約します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.5

積の法則を $2 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.6

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.7

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.7.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.8

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 12 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.9

$- 1$ に $12$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.10

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.11

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.12

$6$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.5.13

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.6

$- 12 x^{\frac{2}{3}}$ と $12 x^{\frac{2}{3}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.7

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.8

$6 x^{\frac{1}{3}}$ から $6 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 0 - 1 + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.9

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

ステップ 5.2.4.10

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 0}{8}$

ステップ 5.2.4.11

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x}{8}$

ステップ 5.2.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x}{8}$

ステップ 5.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\frac{3 x^{2}}{128}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $512$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$\frac{3 x^{2}}{128}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.2.2

$128$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

$x^{2}$ を $x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.4.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 4)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.4.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 4)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 3 \cdot 4)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.5

$\frac{3 x}{32}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x}{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $512$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.6.1

$\frac{3 x}{32}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.6.2

$32$ に $16$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12) + 3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.8.1

$x$ を $x^{2} (x + 12) + 3 x \cdot 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.8.1.1

$x$ を $x^{2} (x + 12)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12)) + 3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.8.1.2

$x$ を $3 x \cdot 16$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12)) + x (3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.8.1.3

$x$ を $x (x (x + 12)) + x (3 \cdot 16)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12) + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.8.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot 12 + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.8.3

$x$ に $x$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot 12 + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.8.4

$12$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 \cdot x + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.8.5

$3$ に $16$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

ステップ 5.3.4.9

$\frac{1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{64}{64}$ を掛けます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64}} - 4$

ステップ 5.3.4.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $512$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.10.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{64}{64}$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{64}{8 \cdot 64}} - 4$

ステップ 5.3.4.10.2

$8$ に $64$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.11

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48) + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.2.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x \cdot x + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.2.3

$48$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x \cdot x + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.3.1

$x$ を移動させます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 (x \cdot x) + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4

因数分解した形で $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.4.1

項を再分類します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 64 + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.2

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 4^{3} + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.4.4.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.5

$12 x$ を $12 x^{2} + 48 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.4.5.1

$12 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 48 x}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.5.2

$12 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 12 x (4)}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.5.3

$12 x$ を $12 x (x) + 12 x (4)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.6

$x + 4$ を $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.4.6.1

$x + 4$ を $12 x (x + 4)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.6.2

$x + 4$ を $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16 + 12 x)}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.7

$- 4 x$ と $12 x$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 16)}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.8

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.4.8.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 4^{2})}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.8.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 5.3.4.12.4.8.3

多項式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.12.4.8.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) {(x + 4)}^{2}}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.13

指数を足して $x + 4$ に ${(x + 4)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.13.1

$x + 4$ に ${(x + 4)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.13.1.1

$x + 4$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) {(x + 4)}^{2}}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{1 + 2}}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.13.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{3}}{512}} - 4$

ステップ 5.3.4.14

$512$ を $8^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{3}}{8^{3}}} - 4$

ステップ 5.3.4.15

$\frac{{(x + 4)}^{3}}{8^{3}}$ を ${(\frac{x + 4}{8})}^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{{(\frac{x + 4}{8})}^{3}} - 4$

ステップ 5.3.4.16

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 (\frac{x + 4}{8}) - 4$

ステップ 5.3.4.17

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.17.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 (\frac{x + 4}{8}) - 4$

ステップ 5.3.4.17.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x + 4 - 4$

ステップ 5.3.5

$x + 4 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$ は $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例