微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{9 - \sqrt{- x}}$

ステップ 1

$\sqrt{- x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- x \geq 0$

ステップ 2

$- x \geq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- x \geq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 0$

ステップ 3

$\sqrt{9 - \sqrt{- x}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$9 - \sqrt{- x} \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

不等式の両辺から $9$ を引きます。

$- \sqrt{- x} \geq - 9$

ステップ 4.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{- x})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- x}$ を ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1.2.1

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 4.3.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 1)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

${({(- 1)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

${({(- 1)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ を $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ に書き換えます。

${(\sqrt{{(- 1)}^{3}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

${(\sqrt{- 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.5

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

${(i x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.6

積の法則を $i x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$i^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.7

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.8

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.8.2.1

共通因数を約分します。

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.8.2.2

式を書き換えます。

$- x^{1} \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.9

簡約します。

$- x \geq {(- 9)}^{2}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$- x \geq 81$

ステップ 4.4

$- x \geq 81$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.1

$- x \geq 81$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{81}{- 1}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{81}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{81}{- 1}$

ステップ 4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$81$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq - 81$

ステップ 4.5

$9 - \sqrt{- x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.5.1

$\sqrt{- x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- x \geq 0$

ステップ 4.5.2

$- x \geq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$- x \geq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 0$

ステップ 4.5.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0]$

ステップ 4.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 81$

$- 81 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 4.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 4.7.1

区間 $x < - 81$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.7.1.1

区間 $x < - 81$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 84$

ステップ 4.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 84$ で置き換えます。

$9 - \sqrt{- (- 84)} \geq 0$

ステップ 4.7.1.3

左辺 $- 0.16515138$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.7.2

区間 $- 81 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.7.2.1

区間 $- 81 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 4.7.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$9 - \sqrt{- (- 2)} \geq 0$

ステップ 4.7.2.3

左辺 $7.58578643$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.7.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.7.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 4.7.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$9 - \sqrt{- (2)} \geq 0$

ステップ 4.7.3.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 81$ 偽

$- 81 < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

$x < - 81$ 偽

$- 81 < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

ステップ 4.8

解はすべての真の区間からなります。

$- 81 \leq x \leq 0$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 81, 0]$

集合の内包的記法：

${x | - 81 \leq x \leq 0}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例