微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{15}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 7$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 7)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

ステップ 5.3.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}$

ステップ 5.3.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}$

ステップ 5.3.4

$- (4 \cdot 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{15 - 1 \cdot 12}$

ステップ 5.3.4.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\sqrt{15 - 12}$

ステップ 5.3.5

$15$ から $12$ を引きます。

$\sqrt{3}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 7 + \sqrt{15})$

ステップ 6.3

楕円の2番目の交点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 7 - (\sqrt{15}))$

ステップ 6.5

簡約します。

$(0, 7 - \sqrt{15})$

ステップ 6.6

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 7 + \sqrt{3})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 7 - (\sqrt{3}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(0, 7 - \sqrt{3})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.5

$- (4 \cdot 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{15 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.5.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{\sqrt{15 - 12}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.1.6

$15$ から $12$ を引きます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{15}$ を単一根にまとめます。

$\sqrt{\frac{3}{15}}$

ステップ 8.3.3

$3$ と $15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 (1)}{15}}$

ステップ 8.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{5}}$

ステップ 8.3.4

$\sqrt{\frac{1}{5}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.6

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.3.7.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.7.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.7.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 8.3.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 8.3.7.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.7.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 8.3.7.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

偏心： $\frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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