微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$

ステップ 1

$\sqrt{x - 4}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - 4 \geq 0$

ステップ 2

不等式の両辺に $4$ を足します。

$x \geq 4$

ステップ 3

$\sqrt{x + 6}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 6 \geq 0$

ステップ 4

不等式の両辺から $6$ を引きます。

$x \geq - 6$

ステップ 5

$\frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x + 6} - x = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\sqrt{x + 6} = x$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x + 6}}^{2} = x^{2}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 6}$ を ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 6)}^{1} = x^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

簡約します。

$x + 6 = x^{2}$

ステップ 6.4

$x$ について解きます。

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ステップ 6.4.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$x + 6 - x^{2} = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.4.2.1

$- 1$ を $x + 6 - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.2.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 6.4.2.1.1.1

$6$ を移動させます。

$x - x^{2} + 6 = 0$

ステップ 6.4.2.1.1.2

$x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + x + 6 = 0$

ステップ 6.4.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

ステップ 6.4.2.1.3

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

ステップ 6.4.2.1.4

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

ステップ 6.4.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

ステップ 6.4.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

ステップ 6.4.2.2

因数分解。

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ステップ 6.4.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 6.4.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 6.4.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

ステップ 6.4.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 6.4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 6.4.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.4.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.4.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.4.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.4.6

最終解は $- (x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

ステップ 6.5

$\sqrt{x + 6} - x = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 4}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例