微分積分学準備例

$\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8} \div \frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4}$

ステップ 1

$\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$m^{3} + 8 = 0$

ステップ 2

$m$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$m^{3} = - 8$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$m^{3} + 8 = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$m^{3} + 2^{3} = 0$

ステップ 2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = m$ であり、 $b = 2$ です。

$(m + 2) (m^{2} - m \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(m + 2) (m^{2} - 2 m + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$m + 2 = 0$

$m^{2} - 2 m + 4 = 0$

ステップ 2.5

$m + 2$ を $0$ に等しくし、 $m$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$m + 2$ が $0$ に等しいとします。

$m + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$m = - 2$

ステップ 2.6

$m^{2} - 2 m + 4$ を $0$ に等しくし、 $m$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$m^{2} - 2 m + 4$ が $0$ に等しいとします。

$m^{2} - 2 m + 4 = 0$

ステップ 2.6.2

$m$ について $m^{2} - 2 m + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $m$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$m = 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 2.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$m = 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$m = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.7

最終解は $(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$m = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 3

$\frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$m^{2} - 2 m + 4 = 0$

ステップ 4

$m$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $m$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 4.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 4.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$m = 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 4.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 4.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$m = 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$m = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 5

$\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8} \div \frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4} = 0$

ステップ 6

$m$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を0に等しくします。

$2 m + 5 n = 0$

ステップ 6.2

$m$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $5 n$ を引きます。

$2 m = - 5 n$

ステップ 6.2.2

$2 m = - 5 n$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2 m = - 5 n$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 m}{2} = \frac{- 5 n}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 m}{2} = \frac{- 5 n}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$m$ を $1$ で割ります。

$m = \frac{- 5 n}{2}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$m = - \frac{5 n}{2}$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $m$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${m | m \neq - 2, m \neq - \frac{5 n}{2}}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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