微分積分学準備例

$f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f^{- 1} (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ を方程式で書きます。

$y = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$

ステップ 1.2

変数を入れ替えます。

$x = 10 y^{\frac{1}{3}} - 6$

ステップ 1.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

方程式を $10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$ として書き換えます。

$10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$

ステップ 1.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$10 y^{\frac{1}{3}} - x = 6$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$10 y^{\frac{1}{3}} = 6 + x$

ステップ 1.3.3

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

ステップ 1.3.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1.1

積の法則を $10 y^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$10^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

ステップ 1.3.4.1.1.2

$10$ を $3$ 乗します。

$1000 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

ステップ 1.3.4.1.1.3

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

ステップ 1.3.4.1.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

ステップ 1.3.4.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$1000 y^{1} = {(6 + x)}^{3}$

ステップ 1.3.4.1.1.4

簡約します。

$1000 y = {(6 + x)}^{3}$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

${(6 + x)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

二項定理を利用します。

$1000 y = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.2.1

$6$ を $3$ 乗します。

$1000 y = 216 + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$1000 y = 216 + 3 \cdot 36 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.2.3

$3$ に $36$ をかけます。

$1000 y = 216 + 108 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.2.4

$3$ に $6$ をかけます。

$1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$

ステップ 1.3.5

$1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ の各項を $1000$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ の各項を $1000$ で割ります。

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

$1000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1.1

$216$ と $1000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1.1.1

$8$ を $216$ で因数分解します。

$y = \frac{8 (27)}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1.1.2.1

$8$ を $1000$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{27}{125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.2

$108$ と $1000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1.2.1

$4$ を $108 x$ で因数分解します。

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1.2.2.1

$4$ を $1000$ で因数分解します。

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 (250)} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 \cdot 250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.3

$18$ と $1000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1.3.1

$2$ を $18 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1.3.2.1

$2$ を $1000$ で因数分解します。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 (500)} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 500} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.3.5.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 1.5

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ が $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 1.5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 1.5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.1

$2$ を $27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.2.1

$2$ を $250$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 (125)} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 \cdot 125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.3.1

$2$ を $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.3.1.1

$2$ を $10 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.3.1.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.3.1.3

$2$ を $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.3.2

積の法則を $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ に当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (2^{2} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (4 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.3.4

$9$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.4

$4$ を $36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.5.1

$4$ を $500$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 (125)} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.5.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 \cdot 125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.5.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.6.1

$2$ を $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.6.1.1

$2$ を $10 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.6.1.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.6.1.3

$2$ を $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.6.2

積の法則を $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ に当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{2^{3} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.6.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.7

$8$ を $8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 ({(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3})}{1000}$

ステップ 1.5.2.3.8

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.8.1

$8$ を $1000$ で因数分解します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

ステップ 1.5.2.3.8.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

ステップ 1.5.2.3.8.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.2

$5$ に $27$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.3

$27$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.4

${(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ を $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 ((5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.2

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.6.1.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{2}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.4

$- 3$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.5

$5$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.1.6

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.6.2

$- 15 x^{\frac{1}{3}}$ から $15 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 30 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.7

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}}) + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.8.1

$25$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.8.2

$- 30$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.8.3

$9$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.9

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.10.1

積の法則を $5 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.2

$5$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.10.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.10.3.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.2.5.10.3.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.4

簡約します。

ステップ 1.5.2.5.10.5

積の法則を $5 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (5^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.6

$5$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.7

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.5.10.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.7.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.8

$25$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 75 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.9

$- 3$ に $75$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.10

$5$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.11

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.12

$9$ に $15$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3}}{125}$

ステップ 1.5.2.5.10.13

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

ステップ 1.5.2.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.6.1

$27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.6.1.1

$- 81$ と $81$ をたし算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

ステップ 1.5.2.6.1.2

$27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

ステップ 1.5.2.6.1.3

$225 x^{\frac{2}{3}}$ から $225 x^{\frac{2}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 0 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

ステップ 1.5.2.6.1.4

$27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

ステップ 1.5.2.6.1.5

$27$ から $27$ を引きます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} + 0}{125}$

ステップ 1.5.2.6.1.6

$135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

ステップ 1.5.2.6.2

$135 x^{\frac{1}{3}}$ から $270 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

ステップ 1.5.2.6.3

$- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.6.3.1

$- 135 x^{\frac{1}{3}}$ と $135 x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x + 0}{125}$

ステップ 1.5.2.6.3.2

$125 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

ステップ 1.5.2.6.4

$125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

ステップ 1.5.2.6.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = x$

ステップ 1.5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 1.5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})$ の値を求めます。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})}^{\frac{1}{3}} - 6$

ステップ 1.5.3.3

$\frac{27}{125}$ を移動させます。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

ステップ 1.5.3.4

$\frac{27 x}{250}$ を移動させます。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

ステップ 1.5.3.5

$\frac{9 x^{2}}{500}$ と $\frac{x^{3}}{1000}$ を並べ替えます。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

ステップ 1.5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ は $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

ステップ 2

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{27}{125}$ を移動させます。

$\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125}$

ステップ 2.2

$\frac{27 x}{250}$ を移動させます。

$\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$

ステップ 2.3

$\frac{9 x^{2}}{500}$ と $\frac{x^{3}}{1000}$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例