微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ として書き換えます。

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$4 - 3 y, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$4 - 3 y, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$4 - 3 y$

ステップ 3.3

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ の各項に $4 - 3 y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ の各項に $4 - 3 y$ を掛けます。

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$4 - 3 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$2 y = x (4 - 3 y)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

ステップ 3.3.3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

ステップ 3.3.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 y = 4 x - 3 x y$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $3 x y$ を足します。

$2 y + 3 x y = 4 x$

ステップ 3.4.2

$y$ を $2 y + 3 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

ステップ 3.4.2.2

$y$ を $3 x y$ で因数分解します。

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

ステップ 3.4.2.3

$y$ を $y \cdot 2 + y (3 x)$ で因数分解します。

$y (2 + 3 x) = 4 x$

ステップ 3.4.3

$y (2 + 3 x) = 4 x$ の各項を $2 + 3 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y (2 + 3 x) = 4 x$ の各項を $2 + 3 x$ で割ります。

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$2 + 3 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ が $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

ステップ 5.2.3

$4$ と $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$3$ と $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.4

因数分解した形で $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$2$ を $2 (4 - 3 x) + 6 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.4.1.2

$2$ を $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.4.2

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.4.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.4.5

$2$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.5

$4$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

ステップ 5.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

ステップ 5.2.7

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

ステップ 5.2.7.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

ステップ 5.2.7.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

ステップ 5.2.8

$4 - 3 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ の値を求めます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.3

$2$ と $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ をまとめます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$- 3$ と $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ をまとめます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.1.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.3

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ を掛けます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$4$ を $4 (2 + 3 x) - 12 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1.1

$4$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.5.1.2

$4$ を $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ で因数分解します。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.5.2

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.5.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.4.6

$4$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.5

$2$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

ステップ 5.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

ステップ 5.3.7

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

ステップ 5.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

ステップ 5.3.8

$2 + 3 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

ステップ 5.3.8.2

式を書き換えます。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ は $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例