微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{4}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

ステップ 1

$\sqrt{16 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$16 - x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $16$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 16$

ステップ 2.2

$- x^{2} \geq - 16$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- x^{2} \geq - 16$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 16$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 16$

ステップ 2.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

ステップ 2.4

方程式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{16}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$\sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 4 |$

ステップ 2.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$| x | \leq 4$

ステップ 2.5

$| x | \leq 4$ を区分で書きます。

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ステップ 2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 4$

ステップ 2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 4$

ステップ 2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.6

$x \leq 4$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 4$

ステップ 2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 4$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$- x \leq 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- x \leq 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 4$

ステップ 2.7.2

$x \geq - 4$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 4 \leq x < 0$

ステップ 2.8

解の和集合を求めます。

$- 4 \leq x \leq 4$

ステップ 3

$\frac{x^{4}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{16 - x^{2}}$ を ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

簡約します。

$16 - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$16 - x^{2} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- x^{2} = - 16$

ステップ 4.3.2

$- x^{2} = - 16$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- x^{2} = - 16$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 4.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$- 16$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 16$

ステップ 4.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 4.3.4

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 4.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 4.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 4.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 4.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 4, 4)$

集合の内包的記法：

${x | - 4 < x < 4}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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