微分積分学準備例

$\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} - 9}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 9 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} \geq 9$

ステップ 2.2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

ステップ 2.3

方程式を簡約します。

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ステップ 2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq \sqrt{9}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq | 3 |$

ステップ 2.3.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$| x | \geq 3$

ステップ 2.4

$| x | \geq 3$ を区分で書きます。

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ステップ 2.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \geq 3$

ステップ 2.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \geq 3$

ステップ 2.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.5

$x \geq 3$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x \geq 3$

ステップ 2.6

$- x \geq 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- x \geq 3$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$3$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq - 3$

ステップ 2.7

解の和集合を求めます。

$x \leq - 3$ または $x \geq 3$

ステップ 3

$\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- \sqrt{x^{2} - 9} = - 4$

ステップ 4.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x^{2} - 9})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 9}$ を ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.5

簡約します。

$x^{2} - 9 = {(- 4)}^{2}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - 9 = 16$

ステップ 4.4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.4.1.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} = 16 + 9$

ステップ 4.4.1.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$x^{2} = 25$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{25}$

ステップ 4.4.3

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5$

ステップ 4.4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5$

ステップ 4.4.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5$

ステップ 4.4.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 5$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3] \cup [3, 5) \cup (5, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 3, x \geq 3, x \neq 5, - 5}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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