微分積分学準備例

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ を方程式で書きます。

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ に当てはめます。

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

ステップ 3.1.2

${\sqrt[7]{y}}^{3}$ を $\sqrt[7]{y^{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

ステップ 3.1.3

$7$ を $3$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

ステップ 3.2

方程式を $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ として書き換えます。

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

ステップ 3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{y^{3}}$ を $y^{\frac{3}{7}}$ に書き換えます。

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $343$ を掛けます。

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

ステップ 3.5

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$343$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

共通因数を約分します。

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

ステップ 3.5.1.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

ステップ 3.6

方程式の両辺を $\frac{7}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.1.1.1.3

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.1.1.2

簡約します。

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1.1

積の法則を $343 x$ に当てはめます。

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.2.1.1.2

$343$ を $7^{3}$ に書き換えます。

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.2.1.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.2.1.2.2

式を書き換えます。

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

ステップ 3.7.2.1.3

$7$ を $7$ 乗します。

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ が $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

ステップ 5.2.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.3.1

${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

ステップ 5.2.3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

ステップ 5.2.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ に当てはめます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

ステップ 5.2.4

${\sqrt[7]{x}}^{7}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x}$ を $x^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

ステップ 5.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

ステップ 5.2.4.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

ステップ 5.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

ステップ 5.2.4.5

簡約します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

ステップ 5.2.5

$7$ を $7$ 乗します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

ステップ 5.2.6

$823543$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

ステップ 5.2.6.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ の値を求めます。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$823543 x^{\frac{7}{3}}$ を ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ に書き換えます。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

ステップ 5.3.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

ステップ 5.3.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

ステップ 5.3.4.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 5.3.4.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 5.3.4.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 5.3.4.2.2.2.2

式を書き換えます。

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ は $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

微分積分学準備 例

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