微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

ステップ 1

$\sqrt{1 - x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 - x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$- x \geq - 1$

ステップ 2.2

$- x \geq - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- x \geq - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 1$

ステップ 3

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

不等式を方程式に変換します。

$4 x - 2 x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$2 x$ を $4 x - 2 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$2 x$ を $4 x$ で因数分解します。

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

$2 x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

ステップ 4.2.3

$2 x$ を $2 x (2) + 2 x (- x)$ で因数分解します。

$2 x (2 - x) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.5

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 4.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 4.5.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 4.6

最終解は $2 x (2 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 4.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 4.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 4.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 4.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

ステップ 4.8.1.3

左辺 $- 16$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.8.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.8.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 4.8.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

ステップ 4.8.2.3

左辺 $2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.8.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.8.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

ステップ 4.8.3.3

左辺 $- 16$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 4.9

解はすべての真の区間からなります。

$0 \leq x \leq 2$

ステップ 5

$\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ を ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2.1.2

簡約します。

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x - 2 x^{2} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.3.1.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$4 u - 2 u^{2} = 0$

ステップ 6.3.1.2

$2 u$ を $4 u - 2 u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1.2.1

$2 u$ を $4 u$ で因数分解します。

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

ステップ 6.3.1.2.2

$2 u$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

ステップ 6.3.1.2.3

$2 u$ を $2 u (2) + 2 u (- u)$ で因数分解します。

$2 u (2 - u) = 0$

ステップ 6.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$2 x (2 - x) = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.3.4

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.3.4.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 6.3.4.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 6.3.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 6.3.4.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.4.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 6.3.5

最終解は $2 x (2 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, 1]$

集合の内包的記法：

${x | 0 < x \leq 1}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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