微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$

ステップ 1

式 $\frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.2

極限を求めます。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.2.2

$x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.2.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.6

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.8

極限を求めます。

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ステップ 3.8.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.8.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.8.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

ステップ 3.8.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

ステップ 3.9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{6}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 3.10

答えを簡約します。

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ステップ 3.10.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 3.10.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 3.10.1.3

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 3.10.1.4

$0 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 3.10.1.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 3.10.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.10.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 3.10.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

ステップ 3.10.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1}$

ステップ 3.10.3

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例