微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{1 - \frac{5}{x}}$

ステップ 1

$\sqrt{1 - \frac{5}{x}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 - \frac{5}{x} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{5}{x} \geq - 1$

ステップ 2.2

両辺に $x$ を掛けます。

$- \frac{5}{x} x = - x$

ステップ 2.3

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

$- \frac{5}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 5}{x} x = - x$

ステップ 2.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 5}{x} x = - x$

ステップ 2.3.1.3

式を書き換えます。

$- 5 = - x$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式を $- x = - 5$ として書き換えます。

$- x = - 5$

ステップ 2.4.2

$- x = - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$- x = - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$x = 5$

ステップ 2.5

$1 - \frac{5}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.5.1

$\frac{5}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 2.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$1 - \frac{5}{- 2} \geq 0$

ステップ 2.7.1.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.7.2

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.2.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.7.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$1 - \frac{5}{2} \geq 0$

ステップ 2.7.2.3

左辺 $- 1.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.7.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 2.7.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$1 - \frac{5}{8} \geq 0$

ステップ 2.7.3.3

左辺 $0.375$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

ステップ 2.8

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x \geq 5$

ステップ 3

$\frac{5}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup [5, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < 0, x \geq 5}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例