微分積分学準備例

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $\frac{1}{3}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

ステップ 2

等比数列の公式 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ を利用し、項数 $n$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

第1項、最終項、および項間の比の値を公式に代入します。

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

ステップ 2.2

$n$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式を $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ として書き換えます。

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

ステップ 2.2.2

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ を $1$ で割ります。

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

ステップ 2.2.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.2.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

ステップ 2.2.2.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

ステップ 2.2.2.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

ステップ 2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.2.3.3

$\frac{1}{243}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

ステップ 2.2.2.3.4

$243$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

ステップ 2.2.3

両辺に $3^{n - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1

$3^{n - 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

ステップ 2.2.4.1.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

ステップ 2.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$\frac{1}{729}$ と $3^{n - 1}$ をまとめます。

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

ステップ 2.2.5

$n$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

方程式を $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ として書き換えます。

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $729$ を掛けます。

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

ステップ 2.2.5.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

$729$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

ステップ 2.2.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

ステップ 2.2.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.2.1

$729$ に $1$ をかけます。

$3^{n - 1} = 729$

ステップ 2.2.5.4

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{n - 1} = 3^{6}$

ステップ 2.2.5.5

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$n - 1 = 6$

ステップ 2.2.5.6

$n$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.6.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$n = 6 + 1$

ステップ 2.2.5.6.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$n = 7$

ステップ 3

等比数列の和の公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ を利用し、和を求めます。

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ステップ 3.1

第1項、比、および項数の値を和の公式に代入します。

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.3

$3$ を $7$ 乗します。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2187}{2187}$ を掛けます。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ と $\frac{2187}{2187}$ をまとめます。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.6

公分母の分子をまとめます。

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.7.1

$- 1$ に $2187$ をかけます。

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.7.2

$1$ から $2187$ を引きます。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.9

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.9.1

負をくくり出します。

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.9.2

$- 12$ と $\frac{2186}{2187}$ をまとめます。

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.9.3

$- 12$ に $2186$ をかけます。

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10

$- 26232$ と $2187$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.10.1

$3$ を $- 26232$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.10.2.1

$3$ を $2187$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10.2.3

式を書き換えます。

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.12

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.12.1

負をくくり出します。

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.12.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.12.3

$\frac{8744}{729}$ に $1$ をかけます。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.2.2.2

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

ステップ 3.2.2.4.2

$1$ から $3$ を引きます。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 3.2.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

ステップ 3.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.4.2

$2$ を $8744$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.4.3

共通因数を約分します。

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.4.4

式を書き換えます。

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

ステップ 3.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$3$ を $729$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

ステップ 3.2.5.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 3.2.5.3

共通因数を約分します。

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 3.2.5.4

式を書き換えます。

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

ステップ 3.2.6

$\frac{4372}{243}$ と $- 1$ をまとめます。

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

ステップ 3.2.7

$4372$ に $- 1$ をかけます。

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

ステップ 3.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$

微分積分学準備 例

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