微分積分学準備例

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ を方程式で書きます。

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $5 {(y - 5)}^{7} = x$ として書き換えます。

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

ステップ 3.2

$5 {(y - 5)}^{7} = x$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5 {(y - 5)}^{7} = x$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2.1.2

${(y - 5)}^{7}$ を $1$ で割ります。

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

ステップ 3.4

$\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ を $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ に書き換えます。

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ が $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ と $\sqrt[7]{5}$ を単一根にまとめます。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

ステップ 5.2.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

ステップ 5.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

ステップ 5.2.3.2.2

${(x - 5)}^{7}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

ステップ 5.2.3.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

ステップ 5.2.4

$x - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

ステップ 5.3.3

$(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

ステップ 5.3.4

積の法則を $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

ステップ 5.3.5

${\sqrt[7]{x}}^{7}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x}$ を $x^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

ステップ 5.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

ステップ 5.3.5.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

ステップ 5.3.5.4

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

ステップ 5.3.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

ステップ 5.3.5.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

ステップ 5.3.6

${\sqrt[7]{5}}^{7}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{5}$ を $5^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

ステップ 5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

ステップ 5.3.6.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

ステップ 5.3.6.4

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

ステップ 5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

ステップ 5.3.6.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

ステップ 5.3.7

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ は $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例