微分積分学準備例

$f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ を方程式で書きます。

$y = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5 (y^{\frac{1}{3}} - 6)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$ として書き換えます。

$5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$

ステップ 3.2

$5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 (y^{\frac{1}{3}} - 6)}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 (y^{\frac{1}{3}} - 6)}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2.2

$y^{\frac{1}{3}} - 6$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{3}} - 6 = \frac{x}{5}$

ステップ 3.3

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{5} = 6$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\frac{x}{5}$ を足します。

$y^{\frac{1}{3}} = 6 + \frac{x}{5}$

ステップ 3.4

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.1.1.2

簡約します。

$y = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

${(6 + \frac{x}{5})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

二項定理を利用します。

$y = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$6$ を $3$ 乗します。

$y = 216 + 3 \cdot 6^{2} \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$y = 216 + 3 \cdot 36 \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.3

$3$ に $36$ をかけます。

$y = 216 + 108 \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.4

$108$ と $\frac{x}{5}$ をまとめます。

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.5

$3$ に $6$ をかけます。

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 18 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.6

積の法則を $\frac{x}{5}$ に当てはめます。

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 18 \frac{x^{2}}{5^{2}} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.7

$5$ を $2$ 乗します。

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 18 \frac{x^{2}}{25} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.8

$18$ と $\frac{x^{2}}{25}$ をまとめます。

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.9

積の法則を $\frac{x}{5}$ に当てはめます。

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{5^{3}}$

ステップ 3.5.2.1.2.10

$5$ を $3$ 乗します。

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125}$

ステップ 3.6

$216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$216$ を移動させます。

$y = \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125} + 216$

ステップ 3.6.2

$\frac{108 x}{5}$ を移動させます。

$y = \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125} + \frac{108 x}{5} + 216$

ステップ 3.6.3

$\frac{18 x^{2}}{25}$ と $\frac{x^{3}}{125}$ を並べ替えます。

$y = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$ が $f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{{(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

積の法則を $5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ に当てはめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{5^{3} {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.1.2

$5$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{125 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{125 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.3

${(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.4

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.5.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5.2

簡約します。

ステップ 5.2.3.5.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5.3.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5.4

$- 6$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5.5

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36 + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5.6

$36$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.5.7

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

積の法則を $5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ に当てはめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 \cdot (5^{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.6.2

$5$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 \cdot (25 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.6.3

$18$ に $25$ をかけます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{450 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.7

$25$ を $450 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{25 (18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.8

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.8.1

$25$ を $25$ で因数分解します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{25 (18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25 (1)} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.8.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{25 (18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25 \cdot 1} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.8.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{1} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.8.4

$18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.9

${(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}$ を $(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 ((x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} - 6)) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.10

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.10.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 6) - 6 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.10.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.10.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.11.1.1

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.11.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.11.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.11.1.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.11.1.2

$- 6$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} - 6 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.11.1.3

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 36) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.11.2

$- 6 x^{\frac{1}{3}}$ から $6 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} - 12 x^{\frac{1}{3}} + 36) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.12

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} + 18 (- 12 x^{\frac{1}{3}}) + 18 \cdot 36 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.13.1

$- 12$ に $18$ をかけます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 18 \cdot 36 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.13.2

$18$ に $36$ をかけます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.14

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

ステップ 5.2.3.15

$108 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 (x^{\frac{1}{3}} - 6) + 216$

ステップ 5.2.3.16

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} + 108 \cdot - 6 + 216$

ステップ 5.2.3.17

$108$ に $- 6$ をかけます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$

ステップ 5.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$- 18 x^{\frac{2}{3}}$ と $18 x^{\frac{2}{3}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 0 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$

ステップ 5.2.4.1.2

$x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$

ステップ 5.2.4.1.3

$648$ から $648$ を引きます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 216$

ステップ 5.2.4.1.4

$x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + 216$

ステップ 5.2.4.1.5

$- 216$ と $216$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + 0$

ステップ 5.2.4.1.6

$x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.2.4.2

$108 x^{\frac{1}{3}}$ から $216 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 108 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.2.4.3

$x - 108 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 108 x^{\frac{1}{3}}$ と $108 x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 0$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216) = 5 ({(\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)}^{\frac{1}{3}} - 6)$

ステップ 5.3.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216) = 5 {(\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)}^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot - 6$

ステップ 5.3.4

$5$ に $- 6$ をかけます。

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216) = 5 {(\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)}^{\frac{1}{3}} - 30$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$ は $f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例