微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 = x$ として書き換えます。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 = x$

ステップ 3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} - x = - 7$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = - 7 + x$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $5$ を掛けます。

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 7 + x)$

ステップ 3.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 7 + x)$

ステップ 3.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{3}} = 5 (- 7 + x)$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$5 (- 7 + x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{\frac{1}{3}} = 5 \cdot - 7 + 5 x$

ステップ 3.4.2.1.2

$5$ に $- 7$ をかけます。

$y^{\frac{1}{3}} = - 35 + 5 x$

ステップ 3.5

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

ステップ 3.6

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.1.1.2

簡約します。

$y = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

${(- 35 + 5 x)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

二項定理を利用します。

$y = {(- 35)}^{3} + 3 {(- 35)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.2.1

$- 35$ を $3$ 乗します。

$y = - 42875 + 3 {(- 35)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.2

$- 35$ を $2$ 乗します。

$y = - 42875 + 3 \cdot 1225 (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.3

$3$ に $1225$ をかけます。

$y = - 42875 + 3675 (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.4

$5$ に $3675$ をかけます。

$y = - 42875 + 18375 x + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.5

$3$ に $- 35$ をかけます。

$y = - 42875 + 18375 x - 105 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.6

積の法則を $5 x$ に当てはめます。

$y = - 42875 + 18375 x - 105 (5^{2} x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.7

$5$ を $2$ 乗します。

$y = - 42875 + 18375 x - 105 (25 x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.8

$25$ に $- 105$ をかけます。

$y = - 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + {(5 x)}^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.9

積の法則を $5 x$ に当てはめます。

$y = - 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + 5^{3} x^{3}$

ステップ 3.6.2.1.2.10

$5$ を $3$ 乗します。

$y = - 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + 125 x^{3}$

ステップ 3.7

$- 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + 125 x^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 42875$ を移動させます。

$y = 18375 x - 2625 x^{2} + 125 x^{3} - 42875$

ステップ 3.7.2

$18375 x$ を移動させます。

$y = - 2625 x^{2} + 125 x^{3} + 18375 x - 42875$

ステップ 3.7.3

$- 2625 x^{2}$ と $125 x^{3}$ を並べ替えます。

$y = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$ が $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{3} - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 ({(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

積の法則を $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.2.2

簡約します。

ステップ 5.2.3.2.3

$5$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.4

積の法則を $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{5^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}{5^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.5.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.6

$5$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.7

$3$ と $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.8

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.8.1

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25}$ と $7$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 7}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.8.2

$7$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.9

$3$ と $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.10

$7$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 49 + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.11

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 49$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.11.1

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ と $49$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 49}{5} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.11.2

$49$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.2.12

$7$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 343) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125}) + 125 (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

$125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.4.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 125 (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.2

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.2.1

$25$ を $125$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 25 (5) (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 25 \cdot (5 (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25})) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 5 (21 x^{\frac{2}{3}}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.3

$21$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.4.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 (25) (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.4.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (25 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.4.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 25 (147 x^{\frac{1}{3}}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.5

$147$ に $25$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.4.6

$125$ に $343$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.5

${(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2}$ を $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 ((\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.6

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.6.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.6.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.7.1.1

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.2

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.7.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1 + 1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.4

$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ と $7$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 7}{5} + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.5

$7$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{7 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.6

$7$ と $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.1.7

$7$ に $7$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.7.2

$\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ と $\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + 2 (\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.8

$2 \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.8.1

$2$ と $\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{2 (7 x^{\frac{1}{3}})}{5} + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.8.2

$7$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.9

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.10.1

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.10.1.1

$25$ を $- 2625$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 + 25 (- 105) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10.1.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 + 25 \cdot (- 105 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10.1.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.10.2.1

$5$ を $- 2625$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 (- 525) (\frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (- 525 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 525 (14 x^{\frac{1}{3}}) - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10.3

$14$ に $- 525$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.10.4

$- 2625$ に $49$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

ステップ 5.2.3.11

分配則を当てはめます。

ステップ 5.2.3.12

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.12.1

$5$ を $18375$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 5 (3675) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 18375 \cdot 7 - 42875$

ステップ 5.2.3.12.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 5 \cdot (3675 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 18375 \cdot 7 - 42875$

ステップ 5.2.3.12.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 18375 \cdot 7 - 42875$

ステップ 5.2.3.13

$18375$ に $7$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$

ステップ 5.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$105 x^{\frac{2}{3}}$ から $105 x^{\frac{2}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 + 0 - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$

ステップ 5.2.4.1.2

$x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$

ステップ 5.2.4.1.3

$- 128625$ と $128625$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 42875$

ステップ 5.2.4.1.4

$x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 42875$

ステップ 5.2.4.1.5

$42875$ から $42875$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 0$

ステップ 5.2.4.1.6

$x + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.2.4.2

$3675 x^{\frac{1}{3}}$ から $7350 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x - 3675 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.2.4.3

$x - 3675 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 3675 x^{\frac{1}{3}}$ と $3675 x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 0$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)$ の値を求めます。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$

ステップ 5.3.3

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 5.3.4

$7$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{7 \cdot 5}{5}$

ステップ 5.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}} + 7 \cdot 5}{5}$

ステップ 5.3.6

$7$ に $5$ をかけます。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}} + 35}{5}$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$ は $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例