微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$

ステップ 1

$\sqrt{x + 2}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 2 \geq 0$

ステップ 2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$x \geq - 2$

ステップ 3

$\sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - \sqrt{x + 2} \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

不等式の両辺から $x$ を引きます。

$- \sqrt{x + 2} \geq - x$

ステップ 4.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(x + 2)}^{1} \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.5

簡約します。

$x + 2 \geq {(- x)}^{2}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

${(- x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$x + 2 \geq {(- 1)}^{2} x^{2}$

ステップ 4.3.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x + 2 \geq 1 x^{2}$

ステップ 4.3.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x + 2 \geq x^{2}$

ステップ 4.4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$x + 2 - x^{2} \geq 0$

ステップ 4.4.2

不等式を方程式に変換します。

$x + 2 - x^{2} = 0$

ステップ 4.4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.4.3.1

$- 1$ を $x + 2 - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.3.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 4.4.3.1.1.1

$2$ を移動させます。

$x - x^{2} + 2 = 0$

ステップ 4.4.3.1.1.2

$x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + x + 2 = 0$

ステップ 4.4.3.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

ステップ 4.4.3.1.3

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

ステップ 4.4.3.1.4

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 4.4.3.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 4.4.3.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

ステップ 4.4.3.2

因数分解。

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ステップ 4.4.3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 4.4.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 4.4.3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

ステップ 4.4.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

ステップ 4.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.4.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.4.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.4.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.4.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.4.7

最終解は $- (x - 2) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1$

ステップ 4.5

$x - \sqrt{x + 2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.5.1

$\sqrt{x + 2}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 2 \geq 0$

ステップ 4.5.2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$x \geq - 2$

ステップ 4.5.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 2, \infty)$

ステップ 4.6

解はすべての真の区間からなります。

$x \geq 2$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 2}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例