微分積分学準備例

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x^{2}}{x + 1} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = - 1$

ステップ 2.6

解をまとめます。

$x = 0, - 1$

ステップ 2.7

$\frac{x^{2}}{x + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.7.1

$\frac{x^{2}}{x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4)}^{2}}{(- 4) + 1} \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $- 5.\overline{3}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.2

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.2.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{(- 0.5) + 1} \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $0.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) + 1} \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $1.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 0$ 真

$x > 0$ 真

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 0$ 真

$x > 0$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x \leq 0$ または $x \geq 0$

ステップ 2.11

区間をまとめます。

$x > - 1$

ステップ 3

$\frac{x^{2}}{x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 1}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例