微分積分学準備例

$- \frac{5 x - 4}{(x + 1) (x - 2)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 1) (x - 2)$ です。

$- \frac{(5 x - 4) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{(5 x - 4) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{(5 x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.5

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$- \frac{(5 x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.5.2

$5 x - 4$ を $1$ で割ります。

$- (5 x - 4) = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.6

分配則を当てはめます。

$- (5 x) + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7

掛け算します。

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ステップ 1.7.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 x + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- 5 x + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.8

各項を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.1.1

共通因数を約分します。

$- 5 x + 4 = \frac{A (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.8.1.2

$(A) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$- 5 x + 4 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.8.2

分配則を当てはめます。

$- 5 x + 4 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.8.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$- 5 x + 4 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.8.4

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.4.1

共通因数を約分します。

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.8.4.2

$(B) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + (B) (x + 1)$

ステップ 1.8.5

分配則を当てはめます。

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + B x + B \cdot 1$

ステップ 1.8.6

$B$ に $1$ をかけます。

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + B x + B$

ステップ 1.9

$- 2 A$ を移動させます。

$- 5 x + 4 = A x + B x - 2 A + B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 5 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = - 2 A + B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$- 5 = A + B$

$4 = - 2 A + B$

$- 5 = A + B$

$4 = - 2 A + B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$- 5 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = - 5$ として書き換えます。

$A + B = - 5$

$4 = - 2 A + B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - 5 - B$

$4 = - 2 A + B$

$A = - 5 - B$

$4 = - 2 A + B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 5 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$4 = - 2 A + B$ の $A$ のすべての発生を $- 5 - B$ で置き換えます。

$4 = - 2 (- 5 - B) + B$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 2 (- 5 - B) + B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$4 = - 2 \cdot - 5 - 2 (- B) + B$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$4 = 10 - 2 (- B) + B$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$4 = 10 + 2 B + B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 2 B + B$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$2 B$ と $B$ をたし算します。

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.3

$4 = 10 + 3 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $10 + 3 B = 4$ として書き換えます。

$10 + 3 B = 4$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$3 B = 4 - 10$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.3.2.2

$4$ から $10$ を引きます。

$3 B = - 6$

$A = - 5 - B$

$3 B = - 6$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.3.3

$3 B = - 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$3 B = - 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

$- 6$ を $3$ で割ります。

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = - 5 - B$ の $B$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

$A = - 5 - (- 2)$

$B = - 2$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 5 - (- 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$A = - 5 + 2$

$B = - 2$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 5$ と $2$ をたし算します。

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = - 3, B = - 2$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- 3}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 2}$

微分積分学準備 例

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