微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ $g (x) = - 3 x - 5$ Find: $f (g (x))$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$f (g (x))$

ステップ 2

$f$ に $g$ の値を代入し、 $f (- 3 x - 5)$ の値を求めます。

$f (- 3 x - 5) = {(- 3 x - 5)}^{2} - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

${(- 3 x - 5)}^{2}$ を $(- 3 x - 5) (- 3 x - 5)$ に書き換えます。

$f (- 3 x - 5) = (- 3 x - 5) (- 3 x - 5) - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 x - 5) (- 3 x - 5)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$f (- 3 x - 5) = - 3 x (- 3 x - 5) - 5 (- 3 x - 5) - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$f (- 3 x - 5) = - 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 5 - 5 (- 3 x - 5) - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$f (- 3 x - 5) = - 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 5 - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 5 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (- 3 x - 5) = - 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 5 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f (- 3 x - 5) = - 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 5 - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 5 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f (- 3 x - 5) = - 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 5 - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 5 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 5 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3.1.4

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 15 x - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 5 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3.1.5

$- 3$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 15 x + 15 x - 5 \cdot - 5 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3.1.6

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 15 x + 15 x + 25 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.3.2

$15 x$ と $15 x$ をたし算します。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 30 x + 25 - 4 (- 3 x - 5) - 9$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 30 x + 25 - 4 (- 3 x) - 4 \cdot - 5 - 9$

ステップ 3.5

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 30 x + 25 + 12 x - 4 \cdot - 5 - 9$

ステップ 3.6

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 30 x + 25 + 12 x + 20 - 9$

ステップ 4

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$30 x$ と $12 x$ をたし算します。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 42 x + 25 + 20 - 9$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$25$ と $20$ をたし算します。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 42 x + 45 - 9$

ステップ 4.2.2

$45$ から $9$ を引きます。

$f (- 3 x - 5) = 9 x^{2} + 42 x + 36$

微分積分学準備 例

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