微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 7, x = 3$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$x$ を $x^{3} + 4 x^{2} - 21 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

ステップ 6.1.1.1.2

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

ステップ 6.1.1.1.3

$x$ を $- 21 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

ステップ 6.1.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

ステップ 6.1.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}$

ステップ 6.1.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 21$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 21$ で、その和が $4$ です。

$- 3, 7$

ステップ 6.1.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} + 4 x - 21}$

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}$

ステップ 6.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 21$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 21$ で、その和が $4$ です。

$- 3, 7$

ステップ 6.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

ステップ 6.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.1.3.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

ステップ 6.1.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 6.1.3.2

$x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 6.1.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x$

ステップ 6.2

多項式の割り算から多項式の部分がないので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例