微分積分学準備例

If $f (x) = 3 x + 6$ then find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 3 x + 6$ を方程式で書きます。

$y = 3 x + 6$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 y + 6$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 y + 6 = x$ として書き換えます。

$3 y + 6 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$3 y = x - 6$

ステップ 3.3

$3 y = x - 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3 y = x - 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 6$ を $3$ で割ります。

$y = \frac{x}{3} - 2$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$ が $f (x) = 3 x + 6$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 x + 6)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 x + 6}{3} - 2$

ステップ 5.2.3

$3 x + 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 2}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.3

$3$ を $3 (x) + 3 (2)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

ステップ 5.2.3.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.4.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3 (1)} - 2$

ステップ 5.2.3.4.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3 \cdot 1} - 2$

ステップ 5.2.3.4.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{x + 2}{1} - 2$

ステップ 5.2.3.4.4

$x + 2$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 x + 6) = x + 2 - 2$

ステップ 5.2.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (3 x + 6) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3 x + 6) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{3} - 2)$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3} - 2) + 6$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 2 + 6$

ステップ 5.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 2 + 6$

ステップ 5.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 2 + 6$

ステップ 5.3.3.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f (\frac{x}{3} - 2) = x - 6 + 6$

ステップ 5.3.4

$x - 6 + 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$f (\frac{x}{3} - 2) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x}{3} - 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$ は $f (x) = 3 x + 6$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$

微分積分学準備 例

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