微分積分学準備例

$f (x) = - \frac{4}{5} x^{2} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 4}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

ステップ 1.1.2

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = - \frac{4 \cdot x^{2}}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

ステップ 1.1.3

$\frac{48}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y = - \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$

ステップ 1.2

$- \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{4}{5}$

$b = \frac{48}{5}$

$c = - \frac{114}{5}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{48}{5}}{2 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{48}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $48$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (24)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 24}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{4}{5}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$\frac{24}{5}$ に $\frac{1}{- \frac{4}{5}}$ をかけます。

$d = \frac{24}{5 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.3.2.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$d = \frac{24}{- 5 (\frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.3.2.5

$- 5$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$d = \frac{24}{\frac{- 5 \cdot 4}{5}}$

ステップ 1.2.3.2.6

$- 5$ に $4$ をかけます。

$d = \frac{24}{\frac{- 20}{5}}$

ステップ 1.2.3.2.7

$- 20$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.7.1

$5$ を $- 20$ で因数分解します。

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5}}$

ステップ 1.2.3.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.7.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 (1)}}$

ステップ 1.2.3.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 1}}$

ステップ 1.2.3.2.7.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{24}{\frac{- 4}{1}}$

ステップ 1.2.3.2.7.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = \frac{24}{- 4}$

ステップ 1.2.3.2.8

$24$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.8.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$d = \frac{4 (6)}{- 4}$

ステップ 1.2.3.2.8.2

$\frac{6}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 6$

ステップ 1.2.3.2.9

$- 1$ に $6$ をかけます。

$d = - 6$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{{(\frac{48}{5})}^{2}}{4 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{48}{5}$ に当てはめます。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{48^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$48$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{4 (- \frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- 4 (\frac{4}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 4 \cdot 4}{5}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$- 4$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 16}{5}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- \frac{16}{5}}$

ステップ 1.2.4.2.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} (- \frac{5}{16}))$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.6.1

$- \frac{5}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

ステップ 1.2.4.2.1.6.2

$16$ を $2304$ で因数分解します。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 (144)}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

ステップ 1.2.4.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 \cdot 144}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

ステップ 1.2.4.2.1.6.4

式を書き換えます。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{25} \cdot - 5)$

ステップ 1.2.4.2.1.7

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.7.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 (5)} \cdot - 5)$

ステップ 1.2.4.2.1.7.2

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.7.4

式を書き換えます。

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5} \cdot - 1)$

ステップ 1.2.4.2.1.8

$\frac{144}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{144 \cdot - 1}{5}$

ステップ 1.2.4.2.1.9

$144$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{114}{5} - \frac{- 144}{5}$

ステップ 1.2.4.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{114}{5} - - \frac{144}{5}$

ステップ 1.2.4.2.1.11

$- - \frac{144}{5}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{114}{5} + 1 (\frac{144}{5})$

ステップ 1.2.4.2.1.11.2

$\frac{144}{5}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{114}{5} + \frac{144}{5}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 114 + 144}{5}$

ステップ 1.2.4.2.3

$- 114$ と $144$ をたし算します。

$e = \frac{30}{5}$

ステップ 1.2.4.2.4

$30$ を $5$ で割ります。

$e = 6$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$ に代入します。

$- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{4}{5} \cdot {(x - 6)}^{2} + 6$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{4}{5}$

$h = 6$

$k = 6$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(6, 6)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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