微分積分学準備例

$\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$

ステップ 1

式 $\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 1$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$3$ を $3 x^{2} - 3$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x - 2}$

ステップ 6.1.1.1.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x - 2}$

ステップ 6.1.1.1.3

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x - 2}$

ステップ 6.1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x - 2}$

ステップ 6.1.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x - 2}$

ステップ 6.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) - 2}$

ステップ 6.1.2.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (- 1)}$

ステップ 6.1.2.1.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

ステップ 6.1.2.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

ステップ 6.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (x + 1)}{2}$

ステップ 6.2

$3 (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 3 \cdot 1}{2}$

ステップ 6.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x + 3}{2}$

ステップ 6.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2$

$3 x$

$3$

ステップ 6.4

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $2$ の最高次項で割ります。

			$\frac{3 x}{2}$
	$2$		$3 x$	+	$3$

ステップ 6.5

新しい商の項に除数を掛けます。

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	+	$3 x$

ステップ 6.6

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x$ の符号をすべて変更します。

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$

ステップ 6.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$

ステップ 6.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$	+	$3$

ステップ 6.9

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 6.10

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = \frac{3 x}{2}$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = \frac{3 x}{2}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例