微分積分学準備例

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ を方程式で書きます。

$y = 5 x^{3} + 5$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5 y^{3} + 5$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $5 y^{3} + 5 = x$ として書き換えます。

$5 y^{3} + 5 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$5 y^{3} = x - 5$

ステップ 3.3

$5 y^{3} = x - 5$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5 y^{3} = x - 5$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 5$ を $5$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

ステップ 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

ステップ 3.5.2

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

ステップ 3.5.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

ステップ 3.5.5

$\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

ステップ 3.5.6

$\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 3.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 3.5.7.2

$\sqrt[3]{5}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 3.5.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.5.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

ステップ 3.5.7.5

${\sqrt[3]{5}}^{3}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{5}$ を $5^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.5.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.7.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

ステップ 3.5.7.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

ステップ 3.5.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.8.1

${\sqrt[3]{5}}^{2}$ を $\sqrt[3]{5^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

ステップ 3.5.8.2

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

ステップ 3.5.9

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.5.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

ステップ 3.5.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ が $f (x) = 5 x^{3} + 5$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

ステップ 5.2.3.2

$5 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

ステップ 5.2.3.3

$25$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

ステップ 5.2.3.4

$125 x^{3}$ を ${(5 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

ステップ 5.2.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.2.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ を $25 (x - 5)$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ を ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.1.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.3

$25$ に $- 5$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.4

$25$ を $25 x - 125$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.4.1

$25$ を $25 x$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$25$ を $- 125$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.2.4.3

$25$ を $25 x + 25 \cdot - 5$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

ステップ 5.3.3.3

$5$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

ステップ 5.3.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

ステップ 5.3.3.5

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

ステップ 5.3.3.5.2

$x - 5$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

ステップ 5.3.4

$x - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ は $f (x) = 5 x^{3} + 5$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

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