微分積分学準備例

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20) = x$

ステップ 1

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$5^{x + 1} - 20 > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺に $20$ を足します。

$5^{x + 1} > 20$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x + 1}) > \ln (20)$

ステップ 2.3

$x + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x + 1})$ を展開します。

$(x + 1) \ln (5) > \ln (20)$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$(x + 1) \ln (5)$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

分配則を当てはめます。

$x \ln (5) + 1 \ln (5) > \ln (20)$

ステップ 2.4.1.2

$\ln (5)$ に $1$ をかけます。

$x \ln (5) + \ln (5) > \ln (20)$

ステップ 2.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (20) = 0$

ステップ 2.6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{20}) = 0$

ステップ 2.7

$5$ と $20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 (1)}{20}) = 0$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

ステップ 2.7.2.2

共通因数を約分します。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

ステップ 2.7.2.3

式を書き換えます。

$x \ln (5) + \ln (\frac{1}{4}) = 0$

ステップ 2.8

方程式の両辺から $\ln (\frac{1}{4})$ を引きます。

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$

ステップ 2.9

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.9.1

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

ステップ 2.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.9.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

ステップ 2.9.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

ステップ 2.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.9.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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