微分積分学準備例

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

ステップ 1

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$a^{2} - a + a b - b = 0$

ステップ 2

$a$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2

$a = 1$ 、 $b = - 1 + b$ 、および $c = - b$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $a$ の値を求めます。

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.3

${(- 1 + b)}^{2}$ を $(- 1 + b) (- 1 + b)$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 + b) (- 1 + b)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.4.2

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.4.3

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5.1.2

$- 1 b$ を $- b$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5.1.3

$- 1$ を $b$ の左に移動させます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5.1.4

$- 1 b$ を $- b$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5.1.5

$b$ に $b$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5.2

$- b$ から $b$ を引きます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.6

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.6.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.6.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.7

$- 2 b$ と $4 b$ をたし算します。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.8

項を並べ替えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.9

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.9.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.9.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

ステップ 2.3.1.9.3

多項式を書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.9.4

$a = b$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

ステップ 2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

${(- 1 + b)}^{2}$ を $(- 1 + b) (- 1 + b)$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 + b) (- 1 + b)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4.2

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4.3

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.5.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5.1.2

$- 1 b$ を $- b$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5.1.3

$- 1$ を $b$ の左に移動させます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5.1.4

$- 1 b$ を $- b$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5.1.5

$b$ に $b$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5.2

$- b$ から $b$ を引きます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.6

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.6.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.6.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.7

$- 2 b$ と $4 b$ をたし算します。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.8

項を並べ替えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.9

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.9.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.9.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

ステップ 2.4.1.9.3

多項式を書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.9.4

$a = b$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

ステップ 2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

ステップ 2.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

ステップ 2.4.4.2

$- b$ と $b$ をたし算します。

$a = \frac{0 + 2}{2}$

ステップ 2.4.4.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$a = \frac{2}{2}$

ステップ 2.4.5

$2$ を $2$ で割ります。

$a = 1$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

${(- 1 + b)}^{2}$ を $(- 1 + b) (- 1 + b)$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 + b) (- 1 + b)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4.2

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4.3

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.5.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5.1.2

$- 1 b$ を $- b$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5.1.3

$- 1$ を $b$ の左に移動させます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5.1.4

$- 1 b$ を $- b$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5.1.5

$b$ に $b$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5.2

$- b$ から $b$ を引きます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.6

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.6.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.6.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.7

$- 2 b$ と $4 b$ をたし算します。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.8

項を並べ替えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.9

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.9.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.9.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

ステップ 2.5.1.9.3

多項式を書き換えます。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.9.4

$a = b$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

ステップ 2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

ステップ 2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

ステップ 2.5.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

ステップ 2.5.4.3

$1$ から $1$ を引きます。

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

ステップ 2.5.4.4

$- b - b$ と $0$ をたし算します。

$a = \frac{- b - b}{2}$

ステップ 2.5.4.5

$- b$ から $b$ を引きます。

$a = \frac{- 2 b}{2}$

ステップ 2.5.5

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$2$ を $- 2 b$ で因数分解します。

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

ステップ 2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

ステップ 2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$a = \frac{- b}{1}$

ステップ 2.5.5.2.4

$- b$ を $1$ で割ります。

$a = - b$

ステップ 2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $a$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${a | a \neq 1}$

微分積分学準備 例

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