微分積分学準備例

$f (x) = {(x + 9)}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = {(x + 9)}^{5}$ を方程式で書きます。

$y = {(x + 9)}^{5}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = {(y + 9)}^{5}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を ${(y + 9)}^{5} = x$ として書き換えます。

${(y + 9)}^{5} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y + 9 = \sqrt[5]{x}$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$y = \sqrt[5]{x} - 9$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$ が $f (x) = {(x + 9)}^{5}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(x + 9)}^{5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = \sqrt[5]{{(x + 9)}^{5}} - 9$

ステップ 5.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = \sqrt[5]{{(x + 9)}^{5}} - 9$

ステップ 5.2.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = x + 9 - 9$

ステップ 5.2.5

$x + 9 - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = x + 0$

ステップ 5.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[5]{x} - 9)$ の値を求めます。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {((\sqrt[5]{x} - 9) + 9)}^{5}$

ステップ 5.3.3

$(\sqrt[5]{x} - 9) + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {(\sqrt[5]{x} + 0)}^{5}$

ステップ 5.3.3.2

$\sqrt[5]{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt[5]{x}}^{5}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x}$ を $x^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x^{\frac{5}{5}}$

ステップ 5.3.4.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x^{\frac{5}{5}}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x$

ステップ 5.3.4.5

簡約します。

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$ は $f (x) = {(x + 9)}^{5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$

微分積分学準備 例

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