微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 1, x = 3$

ステップ 2

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- 1$ 、 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $- 1$ としているので、 $x = - 1$ は垂直漸近線です。

$x = - 1$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$x$ を $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 6.1.1.1.2

$x$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 6.1.1.1.3

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 6.1.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 6.1.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 6.1.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 6.1.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 6.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$3$ を $- 3 x^{2} + 6 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

ステップ 6.1.2.1.2

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

ステップ 6.1.2.1.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

ステップ 6.1.2.1.4

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

ステップ 6.1.2.1.5

$3$ を $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

ステップ 6.1.2.2

群による因数分解。

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ステップ 6.1.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.1.2.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

ステップ 6.1.2.2.1.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

ステップ 6.1.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

ステップ 6.1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.1.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

ステップ 6.1.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

ステップ 6.1.2.2.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.1.3

項を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.1.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

ステップ 6.1.3.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

ステップ 6.1.3.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

ステップ 6.1.3.4

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

ステップ 6.1.3.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 6.1.3.5.1

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

ステップ 6.1.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2

$- x (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1

$x$ を否定します。

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.3

$x$ を移動させます。

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.4

負をくくり出します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.2.9

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3

$3 (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

ステップ 6.4

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

ステップ 6.5

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

ステップ 6.6

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 6.7

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 6.8

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

ステップ 6.9

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

ステップ 6.10

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

ステップ 6.11

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

ステップ 6.12

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x + 3$ の符号をすべて変更します。

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

ステップ 6.13

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

ステップ 6.14

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

ステップ 6.15

解を多項式の部分と余りに分割します。

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 6.16

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - \frac{x}{3} + 1$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 1$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - \frac{x}{3} + 1$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例