微分積分学準備例

$\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + y = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x = - y$

ステップ 3

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + x y + y^{2} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2

$a = 1$ 、 $b = y$ 、および $c = y^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$y^{2}$ を $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1.1

$1$ を掛けます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.1.2

$y^{2}$ を $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ で因数分解します。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.6

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.7

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$y^{2}$ を $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1.1.1

$1$ を掛けます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.1.2

$y^{2}$ を $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ で因数分解します。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.6

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.7

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- y + y i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.4

$y$ を $- y + y i \sqrt{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.4.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$x = \frac{y \cdot - 1 + y i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.4.2

$y$ を $y i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.4.4.3

$y$ を $y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{y (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.4.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.4.6

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 4.4.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{y (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 4.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$y^{2}$ を $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1.1.1

$1$ を掛けます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.1.2

$y^{2}$ を $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ で因数分解します。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.7

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- y - y i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.4.1

$y$ を $- y - y i \sqrt{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.4.1.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$x = \frac{y \cdot - 1 - y i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.4.1.2

$y$ を $- y i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.5.4.1.3

$y$ を $y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{y (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.5.4.2

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$x = \frac{y (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.5.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.5.6

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 4.5.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{y (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 4.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

微分積分学準備 例

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