微分積分学準備例

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = x$ として書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $7$ を掛けます。

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = 7 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = 7 x$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\sqrt[3]{y + 4} = 7 x$

ステップ 3.4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y + 4}}^{3} = {(7 x)}^{3}$

ステップ 3.5

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y + 4}$ を ${(y + 4)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(7 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1.1

${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 4)}^{1} = {(7 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2

簡約します。

$y + 4 = {(7 x)}^{3}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

${(7 x)}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1.1

積の法則を $7 x$ に当てはめます。

$y + 4 = 7^{3} x^{3}$

ステップ 3.5.3.1.2

$7$ を $3$ 乗します。

$y + 4 = 343 x^{3}$

ステップ 3.6

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$y = 343 x^{3} - 4$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$ が $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 {(\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7})}^{3} - 4$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{\sqrt[3]{x + 4}}^{3}}{7^{3}}) - 4$

ステップ 5.2.3.2

${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ を $x + 4$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 4}$ を ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}) - 4$

ステップ 5.2.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}) - 4$

ステップ 5.2.3.2.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 4$

ステップ 5.2.3.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 4$

ステップ 5.2.3.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{7^{3}}) - 4$

ステップ 5.2.3.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{7^{3}}) - 4$

ステップ 5.2.3.3

$7$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{343}) - 4$

ステップ 5.2.3.4

$343$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{343}) - 4$

ステップ 5.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x + 4 - 4$

ステップ 5.2.4

$x + 4 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (343 x^{3} - 4)$ の値を求めます。

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{(343 x^{3} - 4) + 4}}{7}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3} + 0}}{7}$

ステップ 5.3.3.2

$343 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

ステップ 5.3.3.3

$343 x^{3}$ を ${(7 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

ステップ 5.3.3.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{7 x}{7}$

ステップ 5.3.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{7 x}{7}$

ステップ 5.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (343 x^{3} - 4) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$ は $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$

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