微分積分学準備例

$f (x) = 9 (x + 1)$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 9 (x + 1)$ を方程式で書きます。

$y = 9 (x + 1)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 9 (y + 1)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $9 (y + 1) = x$ として書き換えます。

$9 (y + 1) = x$

ステップ 3.2

$9 (y + 1) = x$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$9 (y + 1) = x$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 (y + 1)}{9} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 (y + 1)}{9} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y + 1$ を $1$ で割ります。

$y + 1 = \frac{x}{9}$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \frac{x}{9} - 1$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$ が $f (x) = 9 (x + 1)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (9 (x + 1))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = \frac{9 (x + 1)}{9} - 1$

ステップ 5.2.3

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = \frac{9 (x + 1)}{9} - 1$

ステップ 5.2.3.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x + 1 - 1$

ステップ 5.2.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{9} - 1)$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 ((\frac{x}{9} - 1) + 1)$

ステップ 5.3.3

$(\frac{x}{9} - 1) + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9} + 0)$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{x}{9}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9})$

ステップ 5.3.4

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9})$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{9} - 1) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$ は $f (x) = 9 (x + 1)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$

微分積分学準備 例

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