微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{5}}{5}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{5}}{5}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{y^{5}}{5} = x$ として書き換えます。

$\frac{y^{5}}{5} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $5$ を掛けます。

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 x$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{5} = 5 x$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[5]{5 x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$ が $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{5 (\frac{x^{5}}{5})}$

ステップ 5.2.3

$5$ と $\frac{x^{5}}{5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{5 x^{5}}{5}}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{5 x^{5}}{5}$ を約分します。

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ステップ 5.2.4.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{5 x^{5}}{5}}$

ステップ 5.2.4.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

ステップ 5.2.4.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[5]{5 x})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{5 x})}^{5}}{5}$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[5]{5 x}}^{5}$ を $5 x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{5 x}$ を ${(5 x)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{({(5 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{5}$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{5}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{5}{5}}}{5}$

ステップ 5.3.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{5}{5}}}{5}$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt[5]{5 x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$ は $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$

微分積分学準備 例

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