微分積分学準備例

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

ステップ 1

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

ステップ 2.2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} - u - 2 = 0$

ステップ 2.3

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 2.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 2.3.3

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 2.3.4

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 2.3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 2.3.5

最終解は $(u - 2) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2, - 1$

ステップ 2.4

$2$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 = e^{x}$

ステップ 2.5

$2 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $e^{x} = 2$ として書き換えます。

$e^{x} = 2$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

ステップ 2.5.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.5.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (2)$

ステップ 2.5.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

ステップ 2.5.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (2)$

ステップ 2.6

$- 1$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- 1 = e^{x}$

ステップ 2.7

$- 1 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

方程式を $e^{x} = - 1$ として書き換えます。

$e^{x} = - 1$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

ステップ 2.7.3

$\ln (- 1)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.7.4

$e^{x} = - 1$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (2)$

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \geq \ln (2)$

ステップ 3

$\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ を ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

簡約します。

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

ステップ 4.3.1.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} - u - 2 = 0$

ステップ 4.3.1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 4.3.1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

ステップ 4.3.1.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

ステップ 4.3.3

$e^{x} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$e^{x} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} - 2 = 0$

ステップ 4.3.3.2

$x$ について $e^{x} - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$e^{x} = 2$

ステップ 4.3.3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

ステップ 4.3.3.2.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (2)$

ステップ 4.3.3.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

ステップ 4.3.3.2.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (2)$

ステップ 4.3.4

$e^{x} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$e^{x} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} + 1 = 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ について $e^{x} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$e^{x} = - 1$

ステップ 4.3.4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

ステップ 4.3.4.2.3

$\ln (- 1)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.3.4.2.4

$e^{x} = - 1$ の解はありません

解がありません

ステップ 4.3.5

最終解は $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (2)$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(\ln (2), \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > \ln (2)}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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