微分積分学準備例

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ を方程式で書きます。

$y = 2 (x^{7} + 2)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 (y^{7} + 2)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $2 (y^{7} + 2) = x$ として書き換えます。

$2 (y^{7} + 2) = x$

ステップ 3.2

$2 (y^{7} + 2) = x$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2 (y^{7} + 2) = x$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y^{7} + 2$ を $1$ で割ります。

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

ステップ 3.5

$\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.5.2

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

ステップ 3.5.5

$\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ を $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ が $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

ステップ 5.2.3

$\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ と $\sqrt[7]{2}$ を単一根にまとめます。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

ステップ 5.2.4

$2$ を $2 (x^{7} + 2) - 4$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.4.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

ステップ 5.2.4.2

$2$ を $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

ステップ 5.2.5

数を引いて簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

ステップ 5.2.5.2

$x^{7}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

ステップ 5.2.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x^{7}}{2}$ を約分します。

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ステップ 5.2.6.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

ステップ 5.2.6.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

ステップ 5.2.6.2

$x^{7}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

ステップ 5.2.7

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.2

${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ を $x - 4$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x - 4}$ を ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.2.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.2.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.2.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.3

${\sqrt[7]{2}}^{7}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{2}$ を $2^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

ステップ 5.3.3.3.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

ステップ 5.3.3.3.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

ステップ 5.3.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

ステップ 5.3.3.3.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

ステップ 5.3.4

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 5.3.5

項を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

ステップ 5.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

ステップ 5.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

ステップ 5.3.6.2

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

ステップ 5.3.6.3

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ は $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

微分積分学準備 例

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