微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

ステップ 1

式 $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 2$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 4$

$m = 3$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

$- x^{3}$ を ${(- x)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

ステップ 5.1.1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

ステップ 5.1.1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = - x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 5.1.1.4

簡約します。

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ステップ 5.1.1.4.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 5.1.1.4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 5.1.1.4.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 5.1.1.4.4

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 5.1.1.4.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 5.1.1.4.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

ステップ 5.1.1.4.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.1.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.1.2.2

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.1.2.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.1.2.4

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.1.2.4.1

$- (x - 2)$ を $- 1 (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.1.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2

$- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

$3 x^{4} - 2 x + 1$ を否定します。

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2.4

括弧を削除します。

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2.5

括弧を削除します。

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2.7

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.3

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ を展開します。

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ステップ 5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.6

括弧を削除します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.7

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.8

$x$ と $4$ を並べ替えます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.9

括弧を削除します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.10

$2$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.13

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.14

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.15

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.18

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.19

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.3.20

$4 x$ を移動させます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

ステップ 5.3.21

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

ステップ 5.3.22

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

ステップ 5.3.23

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

ステップ 5.3.24

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 5.4

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

ステップ 5.5

被除数 $- 3 x^{4}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

ステップ 5.6

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

ステップ 5.7

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$ の符号をすべて変更します。

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

ステップ 5.8

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

ステップ 5.9

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

ステップ 5.10

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 5.11

解を多項式の部分と余りに分割します。

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

ステップ 5.12

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - 3 x$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 2$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - 3 x$

ステップ 7

微分積分学準備 例

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