微分積分学準備例

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$

ステップ 1

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

${(2 x)}^{2} - 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

${(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2} = 0$

ステップ 2.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

ステップ 2.2.4

多項式を書き換えます。

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2} = 0$

ステップ 2.2.5

$a = 2 x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 2.4.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

ステップ 2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.6.1

区間 $x < \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.1.1

区間 $x < \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9 \geq 0$

ステップ 2.6.1.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.6.2

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.2.1

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$4 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9 \geq 0$

ステップ 2.6.2.3

左辺 $25$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.6.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 真

$x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 真

ステップ 2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq \frac{3}{2}$ または $x \geq \frac{3}{2}$

ステップ 2.8

区間をまとめます。

すべての実数

ステップ 3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例