微分積分学準備例

Given that $f (x) = x^{2} + x$ and $g (x) = 3 x + 1$ ; find the value of $f (g (4))$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$f (g (x))$

ステップ 2

$f$ に $g$ の値を代入し、 $f (3 x + 1)$ の値を求めます。

$f (3 x + 1) = {(3 x + 1)}^{2} + 3 x + 1$

ステップ 3

括弧を削除します。

$f (3 x + 1) = {(3 x + 1)}^{2} + 3 x + 1$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(3 x + 1)}^{2}$ を $(3 x + 1) (3 x + 1)$ に書き換えます。

$f (3 x + 1) = (3 x + 1) (3 x + 1) + 3 x + 1$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x + 1) (3 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1) + 3 x + 1$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1) + 3 x + 1$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3.1.5

$3 x$ に $1$ をかけます。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 1$

ステップ 4.3.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 6 x + 1 + 3 x + 1$

ステップ 5

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.1

$6 x$ と $3 x$ をたし算します。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 9 x + 1 + 1$

ステップ 5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 9 x + 2$

ステップ 6

関数内の $x$ を $4$ に置換し、得られた関数の値を求めます。

$9 {(4)}^{2} + 9 (4) + 2$

ステップ 7

評価した関数を簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$9 \cdot 16 + 9 (4) + 2$

ステップ 7.1.2

$9$ に $16$ をかけます。

$144 + 9 (4) + 2$

ステップ 7.1.3

$9$ に $4$ をかけます。

$144 + 36 + 2$

ステップ 7.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.2.1

$144$ と $36$ をたし算します。

$180 + 2$

ステップ 7.2.2

$180$ と $2$ をたし算します。

$182$

微分積分学準備 例

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