微分積分学準備例

$f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ を方程式で書きます。

$y = {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = {(y - 8)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を ${(y - 8)}^{\frac{1}{2}} = x$ として書き換えます。

${(y - 8)}^{\frac{1}{2}} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y - 8)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.1.2

簡約します。

$y - 8 = x^{2}$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = x^{2} + 8$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 8$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 8$ が $f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}}) = {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

${({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}}) = {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

ステップ 5.2.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}}) = {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

ステップ 5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}}) = (x - 8) + 8$

ステップ 5.2.3.2

簡約します。

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}}) = x - 8 + 8$

ステップ 5.2.4

$x - 8 + 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{2}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} + 8)$ の値を求めます。

$f (x^{2} + 8) = {((x^{2} + 8) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.3

$(x^{2} + 8) - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$8$ から $8$ を引きます。

$f (x^{2} + 8) = {(x^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.3.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{2} + 8) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.4

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x^{2} + 8) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

共通因数を約分します。

$f (x^{2} + 8) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.4.2.2

式を書き換えます。

$f (x^{2} + 8) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} + 8$ は $f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 8$

微分積分学準備 例

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