微分積分学準備例

If $f (x) = x^{2} + 1$ and $g (x) = \sqrt{2 x + 3}$ ; find $((f \circ g)) (x)$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$f (g (x))$

ステップ 2

$f$ に $g$ の値を代入し、 $f (\sqrt{2 x + 3})$ の値を求めます。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = {(\sqrt{2 x + 3})}^{2} + 1$

ステップ 3

${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ を $2 x + 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 3}$ を ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

ステップ 3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = (2 x + 3) + 1$

ステップ 3.5

簡約します。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = 2 x + 3 + 1$

ステップ 4

$3$ と $1$ をたし算します。

$f (\sqrt{2 x + 3}) = 2 x + 4$

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