微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = x^{2} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f (x) = x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 2

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = {(- x)}^{2} \sqrt{(1 - x) (1 - (- x))}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$f (- x) = {(- x)}^{2} \sqrt{(1 - x) (1 - (- x))}$

ステップ 2.3

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} \sqrt{(1 - x) (1 - (- x))}$

ステップ 2.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = 1 x^{2} \sqrt{(1 - x) (1 - (- x))}$

ステップ 2.5

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = x^{2} \sqrt{(1 - x) (1 - (- x))}$

ステップ 2.6

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- x) = x^{2} \sqrt{(1 - x) (1 + 1 x)}$

ステップ 2.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = x^{2} \sqrt{(1 - x) (1 + x)}$

ステップ 3

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 3.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 3.2

$x^{2} \sqrt{(1 - x) (1 + x)} = x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ なので、関数は偶関数です。

関数は偶関数です。

ステップ 4

微分積分学準備 例