微分積分学準備例

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ を方程式で書きます。

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ に当てはめます。

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

ステップ 3.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

${\sqrt[3]{y}}^{7}$ を $\sqrt[3]{y^{7}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{7}$ を ${(y^{2})}^{3} y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$y^{6}$ を因数分解します。

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

ステップ 3.1.2.2.2

$y^{6}$ を ${(y^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

ステップ 3.1.2.3

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

ステップ 3.1.3

$4$ を $7$ 乗します。

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

ステップ 3.2

方程式を $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ として書き換えます。

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

ステップ 3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y}$ を $y^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $16384$ を掛けます。

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

ステップ 3.5

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$16384$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

ステップ 3.5.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

ステップ 3.5.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

ステップ 3.5.1.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

ステップ 3.5.1.2.3

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

ステップ 3.5.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

ステップ 3.5.1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

ステップ 3.5.1.2.5.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

ステップ 3.6

方程式の両辺を $\frac{3}{7}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7

指数を簡約します。

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ステップ 3.7.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.1.1.1.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.1.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.1.1.2

簡約します。

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1.1

積の法則を $16384 x$ に当てはめます。

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.2.1.1.2

$16384$ を $4^{7}$ に書き換えます。

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.2.1.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.2.1.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.2.1.2.2

式を書き換えます。

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.7.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ が $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

ステップ 5.2.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

ステップ 5.2.3.1.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

ステップ 5.2.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ に当てはめます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

ステップ 5.2.4

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

ステップ 5.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

ステップ 5.2.4.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

ステップ 5.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

ステップ 5.2.4.5

簡約します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

ステップ 5.2.5

$4$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

ステップ 5.2.6

$64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

ステップ 5.2.6.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ の値を求めます。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$64 x^{\frac{3}{7}}$ を ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ に書き換えます。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

ステップ 5.3.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

ステップ 5.3.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

ステップ 5.3.4.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$x^{\frac{1}{7}}$ を $1$ で割ります。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

ステップ 5.3.4.2.2

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.2.2.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.2.2.2.2

式を書き換えます。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ は $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

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