微分積分学準備例

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $400$ を足します。

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

ステップ 1.2

$- 25 x^{2} + 200 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$200$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $200$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 25$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{100}{- 25}$

ステップ 1.2.3.2.2

$100$ と $- 25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$25$ を $100$ で因数分解します。

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

$\frac{4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.3.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$d = - 4$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$200$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $- 25$ をかけます。

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$40000$ を $- 100$ で割ります。

$e = 0 - - 400$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $- 400$ をかけます。

$e = 0 + 400$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ と $400$ をたし算します。

$e = 400$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ に代入します。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

ステップ 1.3

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ を方程式 $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ の中の $- 25 x^{2} + 200 x$ に代入します。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

ステップ 1.4

両辺に $400$ を加えて、 $400$ を方程式の右辺に移動させます。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

ステップ 1.5

$9 y^{2} - 90 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 90$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 90$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 45}{9}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 45$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$9$ を $- 45$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 5}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$- 5$ を $1$ で割ります。

$d = - 5$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 90$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$8100$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 225$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $225$ をかけます。

$e = 0 - 225$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $225$ を引きます。

$e = - 225$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ に代入します。

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

ステップ 1.6

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$ を方程式 $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ の中の $9 y^{2} - 90 y$ に代入します。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

ステップ 1.7

両辺に $225$ を加えて、 $- 225$ を方程式の右辺に移動させます。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

ステップ 1.8

$400 - 400 + 225$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$400$ から $400$ を引きます。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

ステップ 1.8.2

$0$ と $225$ をたし算します。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

ステップ 1.9

各項を $225$ で割り、右辺を1と等しくします。

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

ステップ 4

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

ステップ 5

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

括弧を削除します。

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

ステップ 5.2

$\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{5}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

ステップ 5.2.1.4

$\frac{5}{3} \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

$\frac{5}{3}$ と $- 4$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

ステップ 5.2.1.4.2

$5$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

ステップ 5.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

ステップ 5.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 5.2.3

$5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$5$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

ステップ 5.2.5.2

$- 20$ と $15$ をたし算します。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

ステップ 5.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

ステップ 6

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

ステップ 6.2

$- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

ステップ 6.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

ステップ 6.2.1.3

$x$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

ステップ 6.2.1.4

$- \frac{5}{3} \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

ステップ 6.2.1.4.2

$4$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

ステップ 6.2.1.4.3

$4$ に $5$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

ステップ 6.2.1.5

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

ステップ 6.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 6.2.3

$5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

ステップ 6.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$5$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

ステップ 6.2.5.2

$20$ と $15$ をたし算します。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

ステップ 7

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

ステップ 8

漸近線は $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ と $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ です。

漸近線： $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例