微分積分学準備例

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

ステップ 1

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

ステップ 2.2.1.3

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$x$ を $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ で因数分解します。

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$x$ を $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 5$ を $1$ プラス $- 6$ に書き換える

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.5.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.7

最終解は $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.9.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.1.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $- 90$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.2

区間 $- \frac{1}{2} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.2.1

区間 $- \frac{1}{2} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.25$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.25$ で置き換えます。

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $0.40625$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.3

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.3.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $- 10$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.9.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

ステップ 2.9.4.3

左辺 $234$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{1}{2}$ 偽

$- \frac{1}{2} < x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - \frac{1}{2}$ 偽

$- \frac{1}{2} < x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ または $x \geq 3$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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