微分積分学準備例

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$

ステップ 1

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - y^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $y^{2}$ を足します。

$x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.2

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$| x | = | y |$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm | y |$

ステップ 2.3.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = | y |$

ステップ 2.3.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - | y |$

ステップ 2.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

ステップ 3

$\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2

$a = 1$ 、 $b = - 2 y$ 、および $c = y^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ を ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = - 2 y$ であり、 $b = 2 \cdot 1 y$ です。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1.3.1

$2 y$ を $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.3.1.1

$2 y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.1.2

$2 y$ を $2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.1.3

$2 y$ を $2 y (- 1) + 2 y (1)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.3

指数をまとめます。

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ステップ 4.3.1.3.3.1

$0$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.3.2

$0$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.4

$y$ を $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.3.4.1

$y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.4.2

$y$ を $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.4.3

$y$ を $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.5

$- 1 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.6

$- 2$ から $2$ を引きます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.7

指数をまとめます。

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ステップ 4.3.1.3.7.1

$0$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3.7.2

$0$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.6

$2 y$ プラスマイナス $0$ は $2 y$ です。

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y}{2}$

ステップ 4.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 y}{2}$

ステップ 4.3.3.2

$y$ を $1$ で割ります。

$x = y$

ステップ 4.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = y$ 2乗根

ステップ 5

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

分子を0に等しくします。

$5 x + 10 y = 0$

ステップ 6.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $10 y$ を引きます。

$5 x = - 10 y$

ステップ 6.2.2

$5 x = - 10 y$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$5 x = - 10 y$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 10 y}{5}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

$- 10$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.3.1.1

$5$ を $- 10 y$ で因数分解します。

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5}$

ステップ 6.2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.3.1.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 (1)}$

ステップ 6.2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 2 y}{1}$

ステップ 6.2.2.3.1.2.4

$- 2 y$ を $1$ で割ります。

$x = - 2 y$

ステップ 7

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

微分積分学準備 例

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