微分積分学準備例

$f (x) = x + 1$ $g (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ Find: $((g \circ f)) (x)$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$g (f (x))$

ステップ 2

$g$ に $f$ の値を代入し、 $g (x + 1)$ の値を求めます。

$g (x + 1) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$g (x + 1) = 2 ((x + 1) (x + 1)) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$g (x + 1) = 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$g (x + 1) = 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$g (x + 1) = 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x + x + 1) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.3.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + 2 x + 1) - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x + 1) - 1$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x - 2 \cdot 1 - 1$

ステップ 3.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x - 2 - 1$

ステップ 4

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x - 2 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.1

$2$ から $2$ を引きます。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 0 - 1$

ステップ 4.1.2

$2 x^{2} + 4 x - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x - 2 x - 1$

ステップ 4.2

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x - 1$

微分積分学準備 例

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