微分積分学準備例

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 1

式 $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$x$ を $9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1.1

$x$ を $9 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.1.2

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.1.3

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.1.4

$x$ を $x (9 x^{2}) + x (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.1.5

$x$ を $x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.2

群による因数分解。

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ステップ 6.1.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.1.1.2.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x^{2} + 3 (x) - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.2.1.2

$3$ を $- 3$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{x (9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x ((9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.1.2.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x ((3 x - 1) (3 x + 2))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

ステップ 6.1.2

群による因数分解。

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ステップ 6.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.1.2.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 (x) - 2}$

ステップ 6.1.2.1.2

$3$ を $- 3$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2}$

ステップ 6.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2}$

ステップ 6.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2}$

ステップ 6.1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1)}$

ステップ 6.1.2.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

ステップ 6.1.3

$3 x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

ステップ 6.1.4

$3 x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

ステップ 6.1.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x$

ステップ 6.2

多項式の割り算から多項式の部分がないので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例