微分積分学準備例

$f (x) = 8 (x + 10)$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 8 (x + 10)$ を方程式で書きます。

$y = 8 (x + 10)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 8 (y + 10)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $8 (y + 10) = x$ として書き換えます。

$8 (y + 10) = x$

ステップ 3.2

$8 (y + 10) = x$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$8 (y + 10) = x$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 (y + 10)}{8} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (y + 10)}{8} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y + 10$ を $1$ で割ります。

$y + 10 = \frac{x}{8}$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$y = \frac{x}{8} - 10$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} - 10$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} - 10$ が $f (x) = 8 (x + 10)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (8 (x + 10))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (8 (x + 10)) = \frac{8 (x + 10)}{8} - 10$

ステップ 5.2.3

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 (x + 10)) = \frac{8 (x + 10)}{8} - 10$

ステップ 5.2.3.2

$x + 10$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (8 (x + 10)) = x + 10 - 10$

ステップ 5.2.4

$x + 10 - 10$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$10$ から $10$ を引きます。

$f^{- 1} (8 (x + 10)) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (8 (x + 10)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{8} - 10)$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{8} - 10) = 8 ((\frac{x}{8} - 10) + 10)$

ステップ 5.3.3

$(\frac{x}{8} - 10) + 10$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$f (\frac{x}{8} - 10) = 8 (\frac{x}{8} + 0)$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{x}{8}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x}{8} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

ステップ 5.3.4

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{8} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{8} - 10) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} - 10$ は $f (x) = 8 (x + 10)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} - 10$

微分積分学準備 例

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